đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn toán
Thời gian làm bài 150 phút
-----------------------------------------------

Đề 2
Câu 1:
Cho x + 2y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích x.y

Câu 2:
Phân tích ra thừa số
a8 + a4 + 1
a10 + a5 + 1

Câu 3:
Chứng minh rằng:


Câu 4:
Rút gọn biểu thức :

Biết -1 < x < 1, x0

Câu 5:
Cho hệ phương trình ax + y = 3
4x + ax = -1
Giải hệ khi a=3
Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.

Câu 6:
Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm trên đường chéo BD chiếu lên AB và AD tại E và F.
Chứng tỏ: CF = DE và CF DE
Tìm quỷ tích giao điểm N của CF và DE
Chứng tỏ: CM = EF và CM EF
Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BF và DE đồng quy tại một điểm.





Hướng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9
đề II
Câu 1: (1 điểm)
Ta có : x + 2y = 1 <=> x =1 – 2y
Do đó P = x.y = (1 - 2y)y = y – 2y2 = -(2y2 – y)

Do đó tích số P=x.y đạt giá trị lớn nhất bằng tại trị số

Câu 2: (2 điểm)
a. Ta có a8 + a4 + 1 = (a4 + 1)2 - a4
= (a4 - a2 + 1)(a4 + a2 + 1)
= (a4 - a2 + 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Vậy a8 + a4 + 1 = (a4 - a2 + 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

a10 + a5 + 1 = a10 + a9 + a8 + a7 + a6 + a5 + a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
- a9 - a8 - a7 - a6 - a5 - a4 - a3 - a2- a
= (a10 + a9 + a8) +(a7 + a6 + a5) + (a5 + a4 + a3) + (a2 + a + 1)
- (a9 + a8 + a7) - (a6 + a5 + a4) - (a3 + a2 + a)
= a8(a2+ a + 1) + a5(a2+ a + 1) + a3(a2+ a + 1) + (a2+ a + 1)
- a7(a2+ a + 1) –a4(a2+ a + 1) - a(a2+ a + 1)
= (a2+ a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1)
Vậy a10 + a5 + 1 = (a2+ a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1)

Câu 3: ( 1điểm)
Biến đổi: Tương tự
Do đó:


Vậy

Câu 4 : (2 điểm) Rút gon biểu thức: ta có


nếu 0 < x < 1
=
nếu -1 < x < 0

=>
* Nếu -1 < x < 0 ta có
* Nếu 0 < x < 1 ta có:

Vậy -1 nếu -1 < x < 0
A=
nếu 0 < x < 1
Câu 5: (1 điểm)
a. Khi a=3 ta có hệ <=>

<=> <=> <=>

Vậy khi a = 3 hệ phương trình có nghiệm (2;-3)
b. Xét hệ (I), ta có (I) <=>
<=>

Muốn (I) có nghiệm duy nhất thì

Muốn (I) vô nghiện thì:


Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là
Điều kiện để hệ vô